Théorème et réciproque de Pythagore.


Découvrir à travers le cours et des exercices, le théorème et la réciproque de Pythagore, le théorème pour calculer une longueur d’un triangle rectangle, la réciproque pour prouver  qu’un triangle est rectangle. Le cours débute sur l’utilisation des racines carrées.


 

 

1. A savoir :

 

1.1 Le carré d’un nombre et la racine carrée.

Le carré d’un nombre c’est le multiplier par lui-même :

17² = 17 x 17 ; 6² = 6 x 6

La racine carrée est l’opération réciproque du carré du nombre :

 

1.2 Équation avec une racine carrée.

Voici les méthodes pour résoudre les équations afin de trouver la distance AB :

Exemple 1 : Utilisation de la racine carrée :

AB² = 26

Exemple 2 : Résoudre une équation et utiliser la racine carrée :

15 + AB² = 52
AB² = 52 -15
AB² = 37

1.3 Le triangle rectangle.

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.

L’hypoténuse d’un triangle rectangle est le côté le plus grand du triangle, il se situe à l’opposé de l’angle droit.

hypotenuse

2. Égalité de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Autrement dit, le théorème dit que dans un triangle rectangle, on a l’égalité suivante :

coté² + coté² = hypoténuse²

2.1 Exemple 1.

ABC est un triangle rectangle en B :

AC² = BA² + BC²

theoreme

2.2 Exemple 2.

MNP est un triangle rectangle en N :

PM² = NP² + MN²

trirec1

3. Le théorème de Pythagore  : calculer une longueur.

Le théorème de Pythagore sert à calculer une longueur d’un triangle rectangle.

Pour réussir à calculer une longueur dans un triangle rectangle, il faut respecter la méthodologie suivante :

  • Écrire l’égalité.
  • Remplacer par les valeurs.
  • Calculer.

3.1 Exercice 1 :

ABC est un triangle rectangle en B.

BC = 6, BA= 8.

Calcule AC.

  • Écrire l’égalité.

AB² + BC² = AC²

  • Remplacer par les valeurs.

8² + 4² = AC²

  • Calculer

AC²=64+16
AC²=80

3.2 Exercice 2 :

PRS est un triangle rectangle en P. 

PS = 15; RS = 17

Calculer PR.

  • Écrire l’égalité.

PS² + RP² = RS²

  • Remplacer par les valeurs.

15² + RP²= 17²

  • Calculer

RP²=17²-15²
RP²=64

 

4. La réciproque de Pythagore  : Triangle rectangle ?

La réciproque de Pythagore aide à savoir si un triangle est rectangle.

Ici aussi, il faut respecter une méthodologie pour employer la réciproque de Pythagore.

  • Citer la réciproque.
  • Remplacer par les valeurs.
  • Calculer, Comparer.

4.1  Exercice 1 :

AC= 4; AB= 3 et BC = 5.

Est-ce que le triangle est rectangle ?

Voici les 3 étapes en détail :

Etape 1 : Citer la réciproque

D’après la réciproque de Pythagore, si AB² + AC² = BC²

Etape 2 : Remplacer par les valeurs.

AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

BC² = 5² = 25

Etape 3 : Calculer et comparer.

Comme AB² + AC² = BC² alors le triangle est rectangle en A.

4.2  Exercice 2 :

AB = 4 ; AC = 3; BC = 6

Le triangle est-il rectangle ?

Etape 1 : Citer la réciproque

D’après la réciproque de Thalès, si AB² + AC² = BC²

Etape 2 : Remplacer par les valeurs.

AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

BC² = 6² = 36

Etape 3 : Comparer et comparer.

Comme AB² + AC² ≠ BC² alors le triangle n’est pas rectangle.

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